\documentclass[a4paper]{article}
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\title{\heiti\zihao{2} 习题1.1}
\author{\songti 中书君}
\date{\songti 2021年1月13日}
\begin{document}
\maketitle
\section{用集合表示下列数集：}
\subsection{ 上半平面的点的全体(不含$x$轴)}
\textbf{解}  \quad 
$\{ y| y > 0 \}$

\subsection{$0$与$1$之间的有理数全体}
\textbf{解}  \quad 
$\{x|0<x<1,x \in Q \}$

\subsection{满足$\left|\frac{x-4}{x+1}\right|\leqslant 1$的实数全体}
\textbf{解}  \quad 
$\{ x|x\geqslant\frac{3}{2} \}$

\subsection{$\cos n \pi = 1$成立的$n$的全体}
\textbf{解}  \quad 
$\{ n| n=2k\pi , k \in R  \}$

\section{举例说明集合运算不满足消去律:}
\subsection{ $A \cup B=A \cup C$ 不蕴含 $B=C$}
\textbf{解}  \quad 
$A = \{  1,2 \} \quad B = \{1\} \quad C = \{ 2 \}$

\subsection{$A \cap B=A \cap C$不蕴含$B=C$}
\textbf{解}  \quad 
$A = \{1,2\} \quad B = \{1\} \quad C = \{ 1,3 \}$

\section{证明下列集合等式:}
\subsection{$(A \cap B) \cup C=(A \cup C) \cap(B \cup C)$}%3.1
\textbf{证}  \quad 
任取$x \in (A \cap B) \cup C$,则$x \in A \cap B$且$x \in C$.
从而有$x \in A \cup C $或$x \in B \cup C$.
从而有$x \in (A \cup C) \cap(B \cup C)$.
从而有$(A \cap B) \cup C=(A \cup C) \cap(B \cup C)$
所以
$$
(A \cap B) \cup C \subset (A \cup C) \cap(B \cup C)
$$

反之,任取$x \in (A \cup C) \cap(B \cup C)$,则$x \in A \cap B$或$x \in C$.
从而有$x \in (A \cap B) \cup C$
所以
$$
(A \cap B) \cup C \supset (A \cup C) \cap(B \cup C)
$$
\par 从而有
$$
(A \cap B) \cup C=(A \cup C) \cap(B \cup C)
$$

\subsection{$(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)$}%3.2
\textbf{证}  \quad
任取$x \in (A \cup B) \cup C$,则$x \in A $或$x \in B $或$ x \in C$.
从而有$x \in A \cup(B \cup C)$.

由对称性,反之亦然.从而
$$
(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)
$$

\subsection{$(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C) $}%3.3
\textbf{证}  \quad
任取$x \in (A \cap B) \cap C$,则$x \in A$且$x \in B$且$ x \in C$.
从而有$x \in A \cap(B \cap C)$.
所以
$$
(A \cap B) \cap C \subset A \cap(B \cap C)
$$
\par 由对称性
$$
(A \cap B) \cap C \supset A \cap(B \cap C)
$$
\par 所以
$$
(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)
$$

\subsection{$(A \cap B)^{c}=A^{c} \cup B^{c}$}%3.4
\textbf{证}  \quad
任取$x\in (A \cap B)^{c}$,则$x \notin A \cap B$,
即$x \notin A$或$x\notin B$,即$x\in A^{c}$或$x \in B^{c}$.
从而有$x \in A^{c} \cap B^{c}$.所以
$$
(A \cap B)^{c} \subset A^{c} \cup B^{c}
$$
\par 任取$x \in A^{c} \cup B^{c}$,则$x \notin A $或$x \notin B$,
从而有$x\notin A \cap B$,从而$x \in (A \cap B)^{c}$.所以
$$
(A \cap B)^{c} \supset A^{c} \cup B^{c}
$$
\par 所以
$$
(A \cap B)^{c}=A^{c} \cup B^{c}
$$

\end{document}